445章
“這是因爲，從 1 到 p1p2 這 p1p2 個正整數中， p1， 2p1，...， p2p1 這 p2 個正整數跟 p1p2 有共同素因子 p1； p2， 2p2，...， p1p2 這 p1 個正整數跟 p1p2 有共同素因子 p2；其餘全都跟 p1p2 互素。”
“由此，可以得到φ（p1p2）爲 p1p2 - p2 - p1，上述的推理可以無窮重複，進而表明素數有無窮多個。”
僅僅不到四五分鐘的時間，程諾已經不停歇的說出三個利用新方向的證明法，讓兩位隊友不禁大開眼界。
要這三個證明法都僅僅是歐裡幾得證明法的變種的話，兩位頂多會認爲程諾對歐裡幾得證明法研究頗深而已，倒升不起任何崇拜之意。
但三個證明法全部都不同於歐裡幾得那種整數乘起來再做點加減法的證明，而是另闢蹊徑，分別利用“互素序列”、“素數分佈”、“代數數論”三個完全不同的方向進行拓展。
程諾說出的三個證明法都不算太過複雜，甚至還可以說是簡單的過分。
但越簡單，越讓兩人吃驚不已。
對於一個命題的證明過程，無論是哪個數學家，都希望當然是越簡單越好。
別看許多高大上的數學定理的證明過程都是無比複雜，但那羣數學家們也不願意這樣啊！
還不是因爲找不到更加簡單的證明方法。
越簡單，就越容易讓人理解。但對於數學家的要求越高。
同一個定理，一個能用一頁論文將其證明的數學家，比之要用五頁論文才能將其證明的數學家，學術水平至少要高上一倍。
也因此，兩人現在看待程諾的眼神，宛若是看待一隻怪物。
這傢伙……真的只是一個研究生？
本以爲程諾的實力只是和他們兩人在伯仲之間而已。如今感覺，就程諾現在表現出來的實力，在他們學校擔任副教授都夠格了吧！
“有水嗎，有點口渴了。”在兩人還是思索之際，程諾啞着嗓子問道。
“哦哦，我這裡有水。”一人急忙將揹包裡的一瓶礦泉水遞了過去。
“謝了。”
程諾咕咚咕咚喝了半瓶，等嗓子裡那種不適感過去，道，“之前說到哪了，哦，我講完第三個證明法了，下面說第四個。”
程諾忘了一眼在那握筆準備記錄的隊友道，“如果累了的話，可以讓他幫你。”
說完，程諾便接着上面開始講。
“第四個，利用解析數論的證明，這個方法和我上面用代數數論的證明方法有異曲同工之妙，你們都知道，歐拉乘積公式是：Σnn-s =Πp（1 - p-s）-1 （s > 1），左側經解析延拓後，可變爲解析數論中極重要的函數：黎曼ζ函數ζ（s）。”
“對於 s = 1，歐拉乘積公式的左側是被稱爲調和級數的發散級數……”
程諾清了清嗓子，繼續說，“上面這幾個都是和數論有關的，下面我再說幾個其他領域方向的證明方法。”
在兩人瞠目結舌下，程諾娓娓說道，“第五個，可以利用組合證明的方法。證明的思路是這樣的：任何正整數 N 都可寫成 N = rs2 的形式，其中 r 是不能被任何大於 1 的平方數整除的正整數， s2 則是所有平方數因子的乘積。假如素數只有 n 個，則在 r 的素數分解中……”
“呃，程諾，你能不能再講一遍。”負責記錄的那位學生撓撓頭，略顯尷尬的說道，“我剛纔光顧得愣神，忘了記錄了。”
程諾無奈的聳聳肩，“好吧，我再說一遍，這次你們可要認真聽。”
篝火的火光映在程諾側臉上，顯得光輝無比。
程諾座下兩位博士生宛若乖寶寶般齊齊點頭，一副學生虛心受教的姿態。
“……第六個，利用拓撲的方法證明。”
兩人頓時疑竇叢生。
程諾察覺到他們疑惑的小眼神，哈哈笑了笑，“我明白你們心中的疑惑，拓撲學似乎和數論是兩個很不想幹的領域，爲什麼我卻這麼說。等我講完，你們就清楚了。”
“我們可以定義整數集上的一個拓撲，其開集由且僅由空集?及算術序列 a?+ b （a ≠ 0 和 b 皆爲整數）的並集組成。不難證明，如此定義的開集滿足拓撲的定義，即：……”
“……由此，便得知素數有無窮多個。你們現在明白了嗎？”
兩人齊齊小雞啄米般點頭，腦中不斷回味着程諾的話語。
但程諾並沒有留給兩人太多回味的時間。
在腦海中簡單過一遍思路，程諾便講述下一個證明法。
如今半小時的時間差不多已經過去一半，不抓緊的時間的話，還真的有可能講不完。
“第七個，利用素數在信息、編碼等領域的應用進行證明。過程很簡單，正整數 N 都可分解爲素數的連乘積：N = p1m1·p2m2...”
“……第八個，利用函數的方向證明，設 f（N）爲可整除 N 的不同素數的個數，假如素數只有有限多個，其連乘積爲 P，則顯然對所有 N 都有 f（N）= f（N + P）……”
“……第九個，我將其稱爲素數的單行證明，單行表達式爲：0＜∏sin（π/p）=∏sin（π（1+2∏p＇）/p），假設素數只有有限多個。若素數只有有限多個，則表達式中左側“<”右端連乘積中的 sin 的自變量π/p 全都在 0 和π之間， sin（π/p）> 0，……”
“呼呼-！”
說完第九個證明法後，程諾就覺得口乾舌燥，把剩餘的半瓶礦泉水咕咚咕咚全都灌了下去。
一人很識趣的又遞給程諾一瓶礦泉水。
見程諾許久沒有了動作，那個負責記錄的同學翻了翻自己寫了有四頁多的公式，嚥了嚥唾沫，小心翼翼的問道，“還有嗎？”
程諾擺擺手，苦笑道，“新方向的證明法我能想到的只有這九個了，唉，距離勾股定理五百多種證明方法還是差的太遠啊！”
程諾苦笑，他們也在苦笑。
勾股定理的五百多種證明法，可是歷經幾千年歷史，數十代數學家的發展下才形成的。
程諾能在半個小時不到的時間裡就能想出素數無窮的九種證明法，已經超出兩人理解的範疇。
可聽程諾的語氣，他似乎還挺不滿意。
這……
他們還能說啥！