第113章 歐拉遺產問題
7月10日，上午七點半，
智華樓一樓，數學院的學生志願者們戴着紅袖套，主持着秩序。
來自全國各個省份，還有隔壁大鵝國和星島的代表隊，一共699名參賽者排隊陸續進入考場。
每個教室都有兩名監考老師，教室前方攝像頭來回轉動，像是槍口一般威懾衆人。
考生的位置前後左右間距都足有一米，考生只允許攜帶報到那天發的文具包，其餘物品一律不允許帶入考室，否則按違規處理。
“放輕鬆，不要有什麼負擔，相信自己的實力，正常發揮就行。”
考室外，安成章例行鼓勵一番。
只是話說出口，他自己也感覺有些怪怪的，感覺好囂張！
陳輝點頭，轉身向安檢的地方走去。
一走進教室，肅穆的感覺便撲面而來。
饒是身經百戰的陳輝，在這種氛圍下，都有些微的緊張。
跟參加巴巴里阿數學競賽是截然不同的兩種感覺。
不過輕微的緊張反而能夠激發潛力，讓考生們有更好的發揮，這也是很多同學考試比平時分數更高的原因。
CMO考試分爲兩天，10號和11號，每天上午八點開始，持續四個半小時，下午和晚上是自由活動時間。
拿到試卷，只有三道題。
CMO的賽制跟IMO是一樣的，都是一天三道題，每天四個半小時的答題時間，總共六道題，只是CMO每道題分數是21，IMO每道題分數是7分。
掃了一眼三道題目，確認沒有什麼問題後，陳輝才仔細審第一題。
【某次運動會相繼開了n天（n＞1），共發出m枚獎牌，第一天發出獎牌1枚，和餘下m-1枚的1/7，第二天發出兩枚，和餘下的1/7，依次類推，最後在第n天發出n枚獎牌，而沒有剩下獎牌，問這次運動會開了幾天？共發了幾枚獎牌？】
“歐拉遺產問題？”
看到題目的瞬間，陳輝不僅得出了答案，還找到了這道題的祖宗。
歐拉遺產問題是說，有一位富豪，在他臨終時，給自己兒子指定了特別的遺產分配方式，第一個兒子先取一百金幣，然後取剩下金幣的1/10，第二個兒子取200金幣，然後取剩下的1/10，依次類推，最後每個兒子拿到的金幣一樣多，問，富豪總共有幾個兒子，富豪的遺產有多少金幣。
這個問題很有趣，是一道代數的經典問題，但通常適合小學高年級的朋友來練習。
這道題解法也很多，最簡單的就是設富豪遺產金幣爲x，所以第一個孩子得到的金幣就是100+(x-100)*0.1=90+0.1x。
第二個孩子得到的金幣是200+(x-(90+0.1x)-200)*0.1，而兩個孩子獲得的遺產相等，自然就能算出X爲8100，也就能算出富豪有9個兒子。
當然，這道題還有很多有趣的解法，比如將未知變量設成富豪的兒子數，比如利用等差數列的興致……
但這道題的難度絕對不會超過小學水平。
CMO上當然不會出現小學難度的題目，所以眼前這道題稍微做了點變形。
題目並沒有說每天發出的獎牌數相等，但道理都是相通的，只要上過初中數學，解出這道題就不難。
先假設第K天剩餘的獎牌數爲rk，那麼發出的獎牌mk=k+1/7(rk-k)，
那麼第K+1天剩餘的獎牌數r(k+1)=rk-mk=6/7（rk-k）。
即rk-7/6r(k+1)=k。
所以有r1=m，r1-7/6r2=1……r(n-1)-7/6rn=n-1，rn=n。
等式兩邊同時乘以(7/6)^(n-2)，然後等式兩邊相加之後就能逐項相消，最後得到m=1+2*6/7+……+n(7/6)^(n-1)。
再使用點小技巧，用m-7/6m就能得到-1/6m=(1+7/6+……+(7/6)^(n-1))-n(7/6)^n，右邊式子的左半邊部分明顯是等比數列，利用公式求和，最後化簡，就能得到m=36+(n-6)*(7^n)/6^(n-1)。
一個式子，兩個未知數，顯然無法求解出具體的值。
但題目說了，n>1，所以n-6必定小於6^(n-1)，而7^n和6^(n-1)互素，同時m、n爲正整數，所以m不可能有分數部分，那麼n就只能等於6，m也就只能是36。
寫完答案，總用時不超過兩分鐘！
不止是陳輝，教室裡不少同學都露出了開心的笑容，今年CMO看樣子是準備給大家放水了。
陳輝沒有笑，雖然那位江城大學的教授給了他許諾，但若是在CMO上發揮不好，他可不確定對方的許諾還算不算數。
從一開始他就知道，這個世界，歸根結底還是由他的實力說了算。
看向第二題，
【設A是十進制數4444^4444的各位數字之和，B是A的各位數字之和，求B的各位數字之和】
有點意思的題目，陳輝看完題目，心中的緊張已然完全消失，徹底的投入到了題目之中，他已經做過很多數學題，也參加了許多比賽，一開始他只是爲了賺錢，爲了改善自己的處境。
但漸漸的，看到有意思的題目，他有些忍不住見獵心喜。
別看他能在阿賽決賽拿到滿分，但CMO與阿賽可以說是兩個完全不同的賽道，阿賽像是F1方程式賽車，講究的是用最好的車，以最精妙的技術來奪得冠軍。
而CMO是讓選手騎山地自行車玩山頂速降。
拿到F1方程式賽車冠軍，對於自行車速降並不會有太大的幫助。
這間教室中，剛纔還露出笑臉的其他考生們開始皺起眉頭。
站在講臺和教室後方的兩位監考老師見此，擡頭對視一眼，露出了“健康”的笑容。
這次CMO由燕北大學數學院承辦，考試規模不小，自然需要數學院的學生來協助，這兩位監考老師也都是數學院的研究生。
他們在髮捲時就注意到今天的題目了，當時他們就覺得這次的出題老師下手有些重，不過想到自己平時期末考試時欲仙欲死的場景，再看這些小傢伙們眉頭緊皺的樣子，莫名就感覺很開心。
這還只是第二題呢，等到這些小傢伙看到第三題，應該會感到更加“驚喜”吧。
他們兩個研究生都暫時還沒想到要怎麼證明那道題呢。
一念及此，兩人笑得更加開心起來。
陳輝眉頭緊鎖了一秒，隨後已然舒展。
光看4444^4444自然是看不出什麼東西來的，但只要稍微寫一個稍大一些的數字，就很容易發現規律。
很顯然，在十進制中，任何一個數字n與他的各位數字之和模9是同餘的，例如2025%9=（2+0+2+5）%9=0，這很好證明。 只需要將由k位數字組成的n寫成n=10^k·dk+……+10^1·d1+10^0·d0這種形式，學過一點二進制的同學很容易就能想到這種表達方式。
然後只需要稍微處理一下，將原式寫成n=（10^k-1）dk+dk……+(10^1-1)d1+d1+d0，顯然，10^k-1模9等於0，所以n模9，就等於dk+……+d1+d0，上面的結論得證。
有了上面的結論後，很容易就能得出，B的各位數字之和C與B模9同餘，C又與4444^4444模9同餘，4444^4444%9=(493*9+7)^4444%9=7^(3*1481+1)%9=(7^3)^1481*7%9=(9*38+1)^1481*7%9=7。
而4444^4444<(10^4)^4444=10^17776，當這個數字的每位數都是9時，它的各位數之和能夠取到最大值，也就是說A≤9*17776=159984。
在小於159984的數字中，各位數之和最大的是99999，即A的各位數字之和B≤5*9=45。
在小於45的數字中，各位數之和最大的是39，即B的各位數字之和C≤12。
結合最開始得到的條件，C%9=7，那麼C就只能是7了！
【你的數學等級由2級72%提升到73%】
寫出答案的剎那，眼前再次跳出彈幕。
最近熟練度提升的越來越快了。
陳輝知道，這與剛剛提升的洞察力有很大關係，有點類似得到神器的遊戲角色，角色等級很低，但數值已經超模，擡手一揮就是一羣怪被秒，經驗值蹭蹭上漲，等級自然也會快速提升。
當然，一直以來做題都是提升熟練度很好的途徑，尤其是做有一定難度的題目！
陳輝才發現，在參加阿賽時，並沒有出現熟練度提升的情況，現在看來，阿賽的題目或許很難，解答需要的知識很精深，需要對數學的某個方向有深入的學習，但巧妙程度，或許還不如CMO。
數學追求的永遠都是簡潔、優雅！
陳輝看向第三道題的時候，教室後方的鐘表的分針纔剛剛劃過90度，其他同學或是皺眉苦思，或是在草稿紙上忙碌演算。
兩位監考老師察覺到他翻頁的動靜時，都是下意識的邁步想要過去查看，但礙於職責，在教室後面那位同學停下了腳步，任由另一位同學接近陳輝。
經過去年事件，今年阿賽熱度本就很高，陳輝又復刻了去年姜聖的道路，更是將阿賽的熱度推向另一個高度，所以不少數學專業的學生都至少聽說過陳輝。
兩位監考老師在陳輝進入考場時，就注意到他了，他們自然好奇，這位在網絡上引起巨大爭議的小傢伙，到底是什麼水平。
站在講臺上那位監考老師禮貌的跟同學點頭示意，表示領情。
教室末尾的同學笑着迴應。
不過講臺上那位監考老師也並沒有大步向陳輝走去，那樣就顯得太過刻意了些，搞不好會被投訴干擾考試。
於是他緩步走下講臺，裝作巡視，儘量不發出動靜的慢慢向陳輝所在的位置靠近。
【3.在太空中有n個半徑相等的球形星球，如果一個星球表面的某個區域不能被其他任何一個星球所看見，我們就稱這個區域是“隱秘的”，證明：所有這些“隱秘的角落”的面積之和就等於一個星球的表面積。】
當n=3時，結論是顯而易見的，如下圖所示，
三個點可以確定一個平面，所以這個問題可以轉化到二維平面上來分析，黃色部分就是其他星球看不到的地方，顯然，這三個部分區域圓心角之和是三百六十度，符合結論。
但當推廣到n個星球時，情況就變得複雜起來。
陳輝卻沒有停筆，開始在答題紙上畫圈圈。
證明：如上圖，任意選一個方向定位北極點，則n個星球在這個方向上都會有一個北極點，顯然，只有最北邊的星球的北極點無法被其他星球看到，其他星球的北極點都會被比他更靠北的星球看到。
此時引入一個參考星球，我們遍歷這個星球上的所有點，每次都選一個點作爲北極點，那麼在這個方向上，只有最北方星球上的點是隱秘點，因此這個參考星球上的每一個點都對應着一個隱秘點，而這個方向上再無其他隱秘點。
所以，遍歷完這個參考星球后，所有隱秘點的和，就是這個星球的表面積。
證畢！
這道題並不是常規的數學題目，在陳輝看來，是考察同學們的空間想象能力，這個能力是學習幾何和拓撲的基礎，比如拓撲中的商空間、閉曲面等。
不巧的是，陳輝的拓撲學得還不錯，所以他一眼就看穿了這道題的本質。
直到這時，講臺上那位監考老師還沒有來到陳輝身前。
看到陳輝舉手，他心中一喜，瞌睡來了有人送枕頭，再無顧忌，三步並作兩步，來到陳輝身前，“這位同學，請問需要什麼幫助嗎？”
“你好，我想交卷！”
收拾好文具的陳輝回答道。
在考室裡沒法看書，而這堂考試的時間是四個半小時，他可不想在這裡白白浪費這麼多寶貴的時間。
“？？？”
關一帆滿臉茫然，脖子伸長得像只小龍蝦般看向陳輝的答題紙。
三道題都寫滿了！
可是這纔多長時間？
關一帆下意識擡頭看了看教室後面的鐘表，八點十七！
出題組估計，全國各地數學天才需要四個半小時才能完成的題目，你十七分鐘就做完了？
兩分鐘前他纔剛看到陳輝翻答題卷，也就是說，這傢伙只用了兩分鐘就做出了第三題？
發生什麼事了？
這是魔法嗎？！
兩分鐘做出第一題他能理解，但那可是第三題啊！
看完題目的他都還沒有頭緒來着。
他可是燕北大學數學系研究生，當年同樣也是CMO金牌選手。
能夠上燕北大學的，誰還不是個天才？
陳輝不知道這位監考老師在想些什麼，拿上文具袋後就起身往教室外走去。
其他同學也都看了過來，不由得暗自搖頭，這傢伙考試纔開始十幾分鍾就要去上廁所了？
別看四個半小時時間很長，專注答題的話，四個半小時一晃就過了，所以他們都是在進入考室之前就清空了庫存，甚至刻意控制飲食，少喝水，就是爲了保持好狀態，節省更多時間。
能來CMO的都是天才中的天才，如果不在這些細節上下功夫，怎麼能超越其他選手？
這個傢伙真是太不尊重CMO了！
也怪不得他們會這麼想，畢竟考試纔開始十幾分鍾，他們總不能認爲這傢伙是交卷的吧？
“誒，同學，要考試開始後三十分鐘才能交卷！”
直到陳輝走出教室，那位發愣的監考老師才反應過來，對着陳輝的背影大喊到。
“？？？”
原本已經低下頭繼續做題的同學們再次擡起頭，眼神茫然的看向那位監考老師，還有已經空蕩蕩的教室門口。
(本章完)